La formule du coefficient binomial se comprend en cinq repères

Le coefficient binomial « k parmi n » dénombre les groupes de k éléments choisis parmi n, lorsque l’ordre ne compte pas. Sa formule est C(n, k) = n ! / [k !(n-k) !], pour 0 ≤ k ≤ n ; elle sert en dénombrement, probabilités et dans le binôme de Newton.

Choisir 2 élèves parmi 5 produit 10 groupes distincts, même si l’on peut écrire chaque duo dans deux ordres différents. Cette distinction entre ordre et sélection explique la plupart des erreurs sur les coefficients binomiaux. Pour les maîtriser, il faut relier la formule à une situation concrète, savoir simplifier les factorielles et mémoriser quelques propriétés fiables. Les exemples progressifs permettent ensuite de vérifier un résultat à la main ou sur calculatrice.

Définition : que mesure un coefficient binomial ?

Avant de calculer, il faut identifier ce qui est compté : un groupe, un choix ou un terme dans un développement. Cette lecture évite de confondre une combinaison avec une situation où l’ordre des éléments a de l’importance.

Un coefficient binomial compte le nombre de façons de choisir k éléments parmi n, sans tenir compte de leur ordre. Il se note C(n, k), ou « k parmi n », et correspond à une combinaison. Pour des entiers n et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n, la formule du coefficient binomial est C(n, k) = n ! / [k !(n-k) !]. Selon le cadrage combinatoire présenté par Wikipédia, ce résultat dénombre les sous-ensembles de k éléments d’un ensemble de n éléments.

Par exemple, choisir 2 élèves parmi 5 donne un groupe : choisir Alice puis Bilal revient au même que choisir Bilal puis Alice. Ce n’est donc pas un nouvel arrangement. Les valeurs à retenir sont C(n,0) = 1, car il existe un unique choix vide, C(n, n) = 1, car on prend tout l’ensemble, et C(n,1) = n. Les coefficients binomiaux relient ainsi dénombrement, calcul algébrique et probabilités.

Pourquoi 0 ! vaut-il 1 ?

La convention 0 ! = 1 rend la formule cohérente aux bords. Ainsi, C(n,0) = n ! / [0 ! n !] = 1, et le même principe donne C(n, n) = 1. L’idée est simple : lorsqu’on ne choisit aucun élément, il n’existe qu’une seule possibilité, le choix vide. Cette valeur est aussi compatible avec la définition récursive de la factorielle : pour conserver la relation n ! = n × (n-1) !, il faut que 0 ! soit égal à 1. Pour approfondir : La définition de l’alternance éclaire formation et travail.

Calculer k parmi n avec la formule des factorielles

Pour calculer une combinaison sans calculatrice, la méthode la plus sûre consiste à conserver les produits sous une forme simplifiable. Prenons C(7,3) : le résultat doit compter des groupes de 3 éléments choisis parmi 7, pas des ordres de tirage.

1. Vérifiez que 0 ≤ k ≤ n.
2. Écrivez C(n, k) = n ! / [k !(n-k) !].
3. Développez seulement les facteurs utiles : C(7,3) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1).
4. Simplifiez avant de multiplier : 6 se simplifie avec 3, puis 2 avec 2 ; il reste 7 × 5 = 35.
5. Contrôlez que le résultat est un entier positif.

La symétrie C(n, k) = C(n, n-k) est un raccourci utile : calculer C(7,6) revient à calculer C(7,1), ce qui est bien plus léger. Pour la question « 1 parmi 3 », C(3,1) = 3 : chacun des 3 éléments peut former le groupe choisi seul.

Éviter les erreurs de calcul les plus fréquentes

Une combinaison ne tient pas compte de l’ordre ; un arrangement, lui, le distingue. Ne retirez donc pas le facteur (n-k) ! dans le dénominateur : il sert précisément à corriger les répétitions d’ordres. Évitez aussi un k supérieur à n dans le cadre étudié. Calculer toutes les factorielles d’emblée alourdit inutilement le calcul et favorise les erreurs. Vérifiez par symétrie, par exemple C(7,5) = C(7,2), et gardez un repère simple : un coefficient binomial ne peut pas être négatif.

Propriétés des coefficients binomiaux : symétrie, Pascal et sommes

Les propriétés utiles ne sont pas seulement des formules à réciter : elles permettent de choisir une stratégie. La symétrie, C(n, k) = C(n, n-k), traduit le fait que choisir k éléments revient à désigner les n-k éléments laissés de côté. Elle réduit souvent un calcul lorsque k est proche de n.

La formule de Pascal affirme que C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k). Cette proposition construit le triangle de Pascal : chaque nombre intérieur est la somme des deux nombres placés au-dessus. Il devient alors pratique pour trouver des coefficients voisins sans reprendre les factorielles.

Autre formule à connaître : la somme des coefficients d’une même ligne vaut 2ⁿ, soit C(n,0) + C(n,1) + … + C(n, n). On la retrouve en évaluant le développement de (a+b)ⁿ avec a = b = 1. Dans des cours plus avancés, une formule associée à Fermat apporte des informations de divisibilité lorsque n est premier ; elle n’est pas un prérequis pour les exercices élémentaires.

La formule de Pascal, une méthode de calcul récursive

La formule de Pascal s’écrit C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k). Par exemple, C(5,2) = C(4,1) + C(4,2). Pour comprendre cette addition, distinguez un élément fixé : soit il appartient au groupe de 2, et il reste alors 1 élément à choisir parmi 4 ; soit il n’y appartient pas, et il faut choisir les 2 éléments parmi les 4 restants. Cette méthode est particulièrement efficace pour compléter un triangle ou calculer plusieurs coefficients proches, plutôt que de relancer des calculs de factorielles.

Utiliser les coefficients binomiaux dans le binôme de Newton et les probabilités

Dans la formule du binôme de Newton, attribuée à Isaac Newton, les coefficients binomiaux deviennent les multiplicateurs des termes du développement de (a+b)ⁿ. Ainsi, (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. La ligne 1,3,3,1 provient des coefficients C(3,0), C(3,1), C(3,2) et C(3,3). Le résumé de cours de Bibmath.net présente ce principe général de développement algébrique.

En probabilités, C(n, k) compte les façons de placer k succès parmi n essais indépendants. Pour obtenir une probabilité, ce nombre doit ensuite être combiné avec la probabilité d’un succès et celle d’un échec : le coefficient seul ne suffit pas. Ne confondez pas ce cadre avec la loi binomiale négative, qui porte sur le nombre d’échecs observés avant d’atteindre un nombre fixé de succès, comme le rappelle Wikipédia.

La formule du multinôme de Newton généralise enfin cette idée à une somme de plus de deux termes. Au lycée, il suffit surtout d’en reconnaître le lien avec le binôme.

Quand faut-il employer un coefficient binomial ?

Employez un coefficient binomial lorsqu’il faut sélectionner k objets parmi n et que l’ordre ne crée pas de choix différent : constituer un groupe, retenir des cartes ou répartir les positions de succès dans une série d’essais. Utilisez-le aussi pour déterminer le coefficient d’un terme dans le développement de (a+b)ⁿ. En revanche, si l’ordre compte, il faut envisager un arrangement ou une autre méthode de dénombrement. En probabilités, ajoutez toujours les facteurs correspondant aux succès et aux échecs de la situation.

Calculatrice Casio, révisions et méthode de vérification

Sur une calculatrice Casio, recherchez en général la fonction nCr dans les menus de calcul ou de probabilités. Saisissez d’abord n, puis choisissez nCr, puis saisissez k. Les emplacements varient selon les modèles : vérifiez donc la notation affichée et le manuel de votre calculatrice avant un devoir de proportionnalité. La calculatrice accélère le résultat, mais elle ne remplace pas la justification attendue dans une copie.

Pour réviser, partez toujours du contexte. Demandez-vous d’abord si l’ordre compte ; choisissez ensuite la formule factorielle pour un calcul isolé ou la formule de Pascal pour des coefficients voisins. Contrôlez par symétrie, puis donnez un sens au nombre obtenu : groupes possibles, positions de succès ou coefficient algébrique.

La bonne habitude est de lire la notation avant de la calculer. Dans « k parmi n », k désigne la taille du groupe et n le nombre total d’éléments. Cette vigilance, complétée par une vérification concrète, limite les confusions entre combinaison, arrangement et probabilité.

Retenez d’abord le sens de « k parmi n » : on choisit sans classer. Écrivez ensuite la formule, simplifiez les factorielles avant de multiplier et contrôlez que k est compris entre 0 et n. Pour progresser, entraînez-vous avec de petits effectifs, puis vérifiez vos calculs grâce aux symétries et au triangle de Pascal.

Révisé le 29.07.2026